Getallendag
wetenschappelijk denken

Getallendag

Een wiskundebelevenis voor alle leerlingen van 5vwo

op hun eigen school 

magie en wiskunde
workshop voor scholieren
Geschiedenis van de wiskunde
leuke dag voor leerlingen
poster getallendag 08
leerlingen doen mee met Getallendag
poster Getallendag 07
leerlingen werkboekje
poster Getallendag 07
scholieren wiskunde
getallendag 03
poster Getallendag 16
poster Getallendag 25
poster getallendag 23
poster getallendag 15
poster getallendag 10
poster getallendag 11
poster getallendag 17
afbeelding getallendag 18
poster getallendag 9
Geschiedenis van de wiskunde
workshop voor scholieren
Getallendag 01
leerlingen maken poster
leuke dag voor leerlingen
poster getallendag 02
poster getallendag  20
poster getallendag 14
poster getallendag 13
poster getallendag 12
poster getallendag 24
poster Getallendag 26
boeiende wiskunde

Leerlingen over Getallendag


Wiskunde staat in een heel ander licht op zo'n dag als je niet, zoals normaal, in de klas bent, omdat je nu echt nieuwsgierig bent naar het antwoord en het daagt ook goed uit. 


Ik heb geleerd dat getallen eigenlijk helemaal niet zo 'gewoon' zijn en dat je er eigenlijk ook oneindig over na kunt denken. Hoewel ik niet erg goed in wiskunde ben, begreep ik de stof van deze middag wel. Dat geeft een positief gevoel over wiskunde in het algemeen. Wat het meeste indruk heeft gemaakt is de geschiedenis achter de wiskunde zoals we die nu kennen. Ik blijf het bijzonder vinden dat mensen zo vroeg al tot ontdekkingen kwamen die erg moeilijk zijn. Het feit dat de wereld van de getallen (en dus de wereld van de wiskunde misschien ook wel) oneindig is, zet me wel aan het denken (op een leuke manier). Dat is iets wat ik zeker zal onthouden. Ook om het feit dat dit in mijn visie eigenlijk veel meer is dan wiskunde. Het is filosofisch en logisch nadenken, waar ik best wel van houd. Ik denk dat mijn kijk op  wiskunde vandaag wel echt veranderd is.


Ik ga zeker de geschiedenis van de wiskunde onthouden. Dat komt omdat ik de introductie door middel van de legende erg leuk vond. Het mooiste vind ik dat er uit 'niks' toch iets uit is gekomen en dat er in zo'n pure abstractie (wiskunde) zoveel diepgang, maar ook zoveel logica, zit. 



Ik ga van deze dag onthouden dat er veel meer geschiedenis achter wiskunde zit dan ik had verwacht en dat heel veel daarvan dingen met elkaar gemeen hebben. Ook heb ik geleerd dat je door simpele stellingen en definities makkelijk moeilijkere stellingen kan bewijzen. Ik merkte ook dat wanneer er moeilijkere vragen waren, samenwerking in de groep erg belangrijk was. Hierdoor konden we samen sneller tot een makkelijker antwoord komen. Leuk om een andere kant van de wiskunde te zien en wat dieper op de stof in te gaan!

Ik vond het leuk dat je alles zelf kon ontdekken en daardoor onthoud ik het ook beter. Waarschijnlijk onthoud ik de gulden snede nog lang. Ik vond het ook fijn dat er echt een verhaal omheen zat.


Ik vond ten eerste het intro-verhaal van mevrouw Lubberdink superleuk en interessant (dit kwam ook doordat zij dit met overtuiging en veel enthousiasme vertelde). Dit is omdat ik het erg mooi vind dat men zo lang geleden al wiskunde begreep en uitvond en dat wij dat nog steeds leren. Daarnaast vond ik de gulden snede erg interessant omdat je die ook in veel kunstwerken tegenkomt, maar ook in de natuur. Dit laat zien dat wiskunde overal te vinden is en dat vind ik niet alleen supergaaf maar ook erg interessant. 


[...]  Ook heb ik over de vijfhoekster geleerd die oneindig te maken is in de vorige ster. Ik heb geleerd dat een dag ook leuk is zonder je telefoon en weet ik ook meer van wiskunde dat je normaal niet zou aangeleerd krijgen in de normale lessen. Ik vind het best wel indrukwekkend het verhaal van de hotelkamers en dat oneindig weer in oneindig past. Zelf zou ik nooit op het getal komen dat niet in de de oneindige rij past (dus steeds één getal veranderen in de rij). Het verbaasde me dat dat kon. Normaal ben ik niet zo van geschiedenis maar van de bètavakken maar ik vond het nu wel leuk dat er toch wat geschiedenis voorafgaand is geweest aan de wiskunde van het heden. Ik ben erg onder de indruk van de mensen in het verleden die al die ontdekkingen hebben gedaan zonder alle hulpmiddelen van de moderne tijd. Dat waren dus echt slimme mensen van aard. 


Het interessantste en hetgeen ik ook zeker zal onthouden is de uitleg over het hotel en dat er dus meerdere soorten van oneindig zijn. Ik vind het erg interessant omdat het zo'n groot begrip is dat je het je bijna niet kunt voorstellen. Sommige feiten zijn dan ook zo bijzonder dat je gaat twijfelen of het echt klopt en kan omdat het aan de ene kant logisch is maar het elkaar in je hoofd ook tegenspreekt. 


Ik vond het leuk dat we in groepjes konden werken, want dan kon ik dingen vragen aan de anderen als ik het niet begreep. De plenaire momenten waren interessant want dat had ik nog nooit meegemaakt en het was leuk dat je dan in een soort verhaalvorm tot ontdekkingen komt. 


Ik vond het erg leuk om dieper over wiskunde na te denken en leuk om samen met mijn groepje over opdrachten na te denken waardoor we toch op een antwoord kwamen. 


Ik vond het heel interessant om na te denken over alle oneindige en aftelbare getallen. Het was een leuke dag, erg gezellig en wel hard gewerkt. Ik vond het stukje geschiedenis (Pythagoras) verbazingwekkend leuk, wat ik niet van mezelf had verwacht.


Ik denk  zeker dat ik hier wat aan kan hebben bij komende wiskundetoetsen. Ook vond ik de geschiedenisverhalen heel interessant en bijzonder hoe al die geleerden tot zulke 'schokkende' conclusies zijn gekomen. Ik vond het heel indrukwekkend dat zij zo vroeg al zulke spectaculaire ontdekkingen konden doen. Verder vond ik het een leuke dag omdat het voor een fijne afwisseling zorgt met de rest van de schoolweken. 


Ik heb tijdens Getallendag niet alleen betere wis- en rekenkundige inzichten gekregen, maar ik heb ook tijdens de samenwerking mijn partners veel beter leren kennen en onze samenwerking heeft mij ook zeer positief verrast. De terugrekening van een [decimaal getal naar een] breuk is ook een wonderbaarlijk iets waarvan ik altijd al wilde weten hoe je het terug kon berekenen. 


Ik vond het leuk om een keer de geschiedenis achter bepaalde stellingen te leren, zodat je wiskunde vanuit veel meer verschillende kanten kan bekijken.


Ik zal het verhaal van de Pythagoreeërs zeker onthouden omdat het een inspirerend en mooi verhaal is en het ons toch laat weten over de mensen die de wiskunde zoals we die vandaag kennen hebben gevormd. 


De sterposter maken vond ik het leukst omdat je daar alles wat je had bewezen en had uitgerekend bij elkaar kon voegen in één tekening. 


Wat ik van vandaag ga onthouden is de manier waarop je stellingen kunt bewijzen. Dit kan ik bijvoorbeeld gebruiken in een vervolgstudie. 


Als we vanaf nu iets doen aan Pythagoras of Thales zal ik altijd denken aan wat vandaag is verteld, want zo begon het en dat vond ik heel interessant. [...] We waren de hele dag bezig met wiskunde, maar op een leuke manier. Ik had het me heel anders voorgesteld, maar het werd niet saai. 


Mijn interesse in wiskunde is zeker gegroeid.


Het meest interessante, onverwachte, indrukwekkende vind ik die lijst met alle getallen waar toch nooit alle getallen op staan omdat dat eigenlijk niet meer te bevatten is, omdat je er logischerwijs toch van uit gaat dat je alle getallen op een rij kunt zetten. Maar als je dan te zien krijgt dat dat niet zo is, is dat nogal eh .... hoe zeg ik dit .... gek. 


Ik had verwacht niet veel te leren want ik dacht dat ik getallen wel snapte. Maar toch heb ik kunnen leren vandaag, namelijk hoe een tegenspraak werkt en hoe je hoeken en lengtes kan bewijzen in de driehoeken. 


Ik vind het heel knap dat men heel lang geleden is begonnen met het redeneren m.b.v.getallen en dat hier zoveel ontdekkingen uit gekomen zijn. En wij gebruiken nu nog steeds getallen en kunnen niet zonder dit! Dit is allemaal te danken aan de geleerden en wiskundigen van vroeger, wat veel indruk op mij maakte.

 

Ik vond de manier van werken leuk: korte uitleg waarin veel leuke info wordt verteld zoals het verhaal over Pythagoras, waar je ook nog wat van opsteekt en dan zelf uitvoeren in de praktijk.


zie hier voor nog meer reacties van leerlingen. 

Opzet en inhoud van Getallendag

Getallendag is geschreven en opgezet door Andrea Lubberdink, docent wiskunde met een achtergrond in de geschiedenis en filosofie van de natuurwetenschappen. Het hoofdthema van de dag is de (schokkende) ontdekking van irrationale getallen. Deze is uitgewerkt langs de lijn van de geschiedenis, zodanig dat meer inzicht verkregen wordt in (de achtergronden van natuurwetenschap en) wiskunde en (nieuwe) wiskundige vaardigheden worden geoefend. 


Opzet

De dag bestaat uit 3 blokken van elk ongeveer 80-100 minuten met daartussen twee pauzes. Elk blok begint plenair in een theaterzaal of aula, waarna de leerlingen in groepjes van vier (of drie) zelfstandig werken in lokalen. Ze hebben daarvoor ieder een eigen getallendagboekje om in te werken.  Daarnaast zorgen ze als groepje voor één gezamenlijk uitgewerkt boekje (waarin ze ook hebben gereflecteerd op het geleerde en op de dag) en maken ze een poster, waarin de ontdekkingen tot uitdrukking komen. Aan het einde van de dag leveren ze het groepsboekje en de poster in.


Wel of niet voor een cijfer 

Het groepsboekje kan samen met de poster worden beoordeeld voor een cijfer, dat bijvoorbeeld telt als SO of PO (Het past in het PTA in Domein F, keuzeonderwerpen). Het ingeleverde materiaal wordt vooral beoordeeld op inzet en positieve werkhouding. Leerlingen hoeven zich geen zorgen te maken over alles goed of af hebben. Het gaat om het opdoen van nieuwe ervaringen en inzichten en dat kan voor iedereen en voor elk groepje anders zijn en meer of minder betrekking hebben op de verschillende wiskundige inhoud. De leerlingen mogen kijken wat hun aanspreekt, wat zij interessant vinden en waar ze langer of minder lang bij willen blijven stil staan. Ze worden wel aangespoord om te proberen de lijn van de dag te volgen en bij te dragen aan hun groepje. 


De dag kan ook zonder cijfer georganiseerd worden. Leerlingen gaan dan meer vrijblijvend aan de slag met de boekjes en er zijn prijsjes te winnen voor de mooiste posters en de beste boekjes. Die prijsjes zijn er trouwens ook als het wel voor een cijfer is. 


Wat beleef je en leer je bij getallendag?

Je kunt het vergelijken met een bezoek aan een museum. Je maakt kennis met belangrijke ontdekkingen en prestaties uit de geschiedenis en je ziet daardoor verbanden met de wereld van nu. Het geeft bewondering voor wat mensen vroeger gedaan en ontdekt hebben en ook hoe bijzonder de wereld is dat je deze dingen kan doen en ontdekken. Je moet er wel voor open staan. Je mag langer stil blijven staan bij wat je interessanter of leuker vindt, maar volg wel de grote lijn.


Inhoud

Aan het begin van de dag, tijdens het eerste plenaire gedeelte, vertelt Andrea een verhaal. Aan de hand van Pythagoras, worden de leerlingen meegenomen terug in de tijd, naar het begin van de (formele) wiskunde, naar de tijd van de Oude Grieken, naar de vraag hoe de wereld in elkaar zit en hoe dit leidt tot het begin van het wetenschappelijk denken. De axiomatische opbouw van een wetenschappelijke theorie komt naar voren en het samenspel tussen de wiskunde en natuurwetenschappen. 

Daarna bestuderen en bewijzen de leerlingen zelfstandig een aantal stellingen over even en oneven getallen (uit boek 9 van de Elementen) en ze maken kennis met het bewijs uit het ongerijmde. WisB-leerlingen ontdekken ook alvast dat er een tegenspraak ontstaat als aangenomen wordt dat de lengtes van de twee zijden van een gelijkbenige rechthoekige driehoek gehele getallen zijn.


Tijdens het tweede plenaire gedeelte wordt het bewijs uit het ongerijmde kort besproken en de leerlingen leren een manier (het algoritme van Euclides) voor het berekenen van de ggd. Zelfstandig tekenen ze daarna vanuit een regelmatige vijfhoek de prachtige symmetrische figuur van stervijfhoeken in stervijfhoeken en ontdekken (voor wisA, onder andere door knippen en plakken) de vele congruente en gelijkvormige, gelijkbenige driehoeken en de gulden snede in de figuur. Ze proberen de ggd uit te rekenen van de lengte van twee lijnstukken en komen erachter dat dit niet lukt. Hoe kan dat? Hier ontstaat verwarring. 


In het derde plenaire gedeelte worden de ontdekkingen besproken en wordt de verwarring opgehelderd. Wat betekenen de tegenspraken die we zijn tegengekomen? We leren over het verschil tussen rationale en irrationale getallen en aan de hand van Hilberts Hotel wordt het begrip aftelbaar oneindig geïllustreerd. Ten slotte wordt bewezen (met Cantor) dat er meer dan aftelbaar oneindig veel irrationale getallen zijn, natuurlijk weer met een bewijs uit het ongerijmde. Iedere leerling ervaart de dag anders, maar veel leerlingen ervaren dit laatste als het duizelingwekkende hoogtepunt van de dag. Na het laatste plenaire gedeelte werken leerlingen met hun groepje rationale decimale getallen om tot breuken (en bewijzen o.a. dat 0,999... =1) en verwerken in de laatste twee opdrachten het begrip aftelbaar oneindig en het bewijs van Cantor. Aan het einde zorgen ze voor groepsboekjes met weloverwogen antwoorden en creatieve posters. 


De werkboekjes

Er zijn twee soorten boekjes, namelijk voor wisA/C leerlingen en voor wisB leerlingen. Binnen de boekjes kan er gekozen worden om (meer uitdagende) opgaven wel of niet te maken. 

Voor gymnasia zijn de boekjes iets uitgebreid, namelijk met stukje Oudgrieks erbij. 


Samenwerking met de school

In samenwerking met de organisator van de school, komt Andrea Getallendag geven aan (alle) leerlingen van 5 vwo op een geschikt gekozen dag, bijvoorbeeld in een project- of activiteitenweek of in een week met uitgedunde klassen vanwege een buitenlandreis. Ook na een toetsweek of vlak voor een vakantie, als leerlingen moeilijker te motiveren zijn voor een gewone schooldag, kan het goed uitkomen. Voor de plenaire gedeeltes is een Aula of theaterzaal nodig met projectiemogelijkheid en microfoon en voor het zelfwerken voldoende lokalen. Het is het prettigst als alles dicht bij elkaar is en het dus in een bepaald gedeelte van het schoolgebouw die dag Getallendag is.

Als het om veel leerlingen gaat, kunnen andere docenten van de school helpen surveilleren op de uren dat ze normaalgesproken een vijfdeklas zouden hebben. Zij letten op de werkhouding van de leerlingen en het bijeenblijven van de groepjes.  De leerlingen dragen daarvoor zichtbaar een sticker op hun kleding, die ze aan het begin van de dag gekregen hebben, met naam en groepsnummer. 

Andrea neemt al het organisatorische en inhoudelijke werk op zich zodat er geen extra werk is voor de wiskundedocenten van de school, behalve van te voren het aanleveren van de namen van de leerlingen (voor de stickers) en het aankondigen van de dag aan hun klassen en achteraf het verwerken van de cijfers. 


Aanbevelingen, verantwoording, referenties.

Onderaan deze pagina staan reacties van leerlingen op Getallendag 2018 op Het Nieuwe Lyceum, Bilthoven (ook hier) En hier staan reacties van leerlingen op Getallendag 2019, Gemeentelijk Gymnasium Hilversum. Achtergrond, verantwoording en referenties met betrekking tot de bedoeling en de inhoud van Getallendag is hier te vinden. 


In EUCLIDES , het vakblad voor de wiskundeleraar jaargang 94 nr 4 (febr 2019) staat in de inleiding van het artikel van Martin Kindt (leraar, docent lerarenopleiding, leerplanontwikkelaar en onderzoeker, Freudenthaal instituut, Universiteit Utrecht): "Het wonder dat er paren lijnstukken bestaan , waarvan de lengten zich niet verhouden als twee natuurlijke getallen, staan we daar op school nog wel eens bij stil? In de tijd van Pythagoras werden ze daar volgens overlevering wel stil van. Martin Kindt stelt zich voor dat de aandacht hiervoor, mits met veel gevoel voor drama gepresenteerd, door de leerling van vwo of havo als een welkome afwisseling van die eindeloze reeksen willekeurige sommetjes kan worden ervaren". 

Dit is precies wat Getallendag biedt. 


Andrea over Getallendag:

De wereld draagt bij aan de vooruitgang van de wiskunde en de wiskunde draagt bij aan de vooruitgang van de wereld, staat zelfs aan de basis. Wiskunde staat vast, maar is vol verrassingen en dwingt respect af. Tijdens Getallendag probeer ik leerlingen dit te laten ervaren. Zo als het waardevol is dat iedereen kennismaakt met beroemde kunstwerken, muziekstukken, boeken, bouwwerken of natuurverschijnselen, omdat ze bewondering opwekken, aan de essentie raken, diepgang doen voelen, net zo is de inhoud van Getallendag waardevol. Minstens zo.  Andrea Lubberdink (augustus 2018)   


Voorbereiding, organisatie en kosten

Om de dag aan de leerlingen aan te kondigen vertellen de eigen wiskundedocenten er iets over aan hun V5-clusters aan de hand van een powerpoint die Andrea aanlevert.  Andrea levert (desgewenst) ook een Word-document, dat uitgeprint kan worden en als A3-poster kan worden opgehangen op school, als aankondiging van de dag. (Zie hier een voorbeeld.

De leerlingen worden in overleg door de school zelf of door Andrea ingedeeld in groepjes. 

Andrea zorgt voor de werkboekjes, linialen, potloden, kleurtjes, voorgedrukte A3-vellen waar de leerlingen posters van gaan maken, werkbladen en materiaal voor de extra opdrachten. Ook versiert ze de ruimte met gekleurde sterren aan het begin van de dag.


Op de dag zelf is Andrea een uur voor aanvang aanwezig om voor te bereiden en ze vertrekt nadat alles is opgeruimd. De door de leerlingen gemaakte posters blijven op school (Andrea maakt er foto's van om te kunnen beoordelen) en binnen drie weken geeft Andrea de eindcijfers door en stuurt de ingeleverde werkboekjes terug per post. 


De inhoud en opzet van de dag kan aangepast worden aan de wensen van de school. Andrea komt met plezier langs op uw school voor een vrijblijvend gesprek. Bij boeking van Getallendag wordt een datum vastgelegd, details worden afgestemd, de beschikbare ruimten worden aangegeven en de prijs wordt overeengekomen. De prijs is 850 euro, maar voor kleine groepen kan er wat af. 


Als om wat voor reden dan ook een geboekte dag niet doorgaat dan zijn er wederzijds geen kosten. Dus als de school (op het laatste moment) de dag afzegt dan brengt Andrea niets in rekening en als Andrea (op het laatste moment) moet afzeggen, dan is zij niet aansprakelijk voor eventuele door de school reeds gemaakte kosten.



Contact

LubLub is gevestigd in Driebergen.

Andrea is te bereiken op telefoonnummer 06 28322166

of via email: andrea@lublub.nl

leuke dag voor leerlingen
leuke dag voor leerlingen
magie en wiskunde
Geschiedenis van de wiskunde
boeiende wiskunde
poster getallendag 26
poster Getallendag 22
poster getallendag 09
afbeelding getallendag 05
vijfde klas
Weet jij al wat getallen zijn? Dat dacht je maar. Mee eens.
magie en wiskunde
boeiende wiskunde

Wat is wiskunde eigenlijk? En wetenschap? Hoe is het ontstaan?  Wat is er boeiend aan?

En waarom is het zo belangrijk? Geschiedenis, filosofie en de exacte vakken komen samen op Getallendag. In afwisselende werkvormen wordt geleerd, zelf onderzocht, gecreëerd, samengewerkt en geluisterd. Leerlingen krijgen een nieuwe kijk op wiskunde en haar samenhang met de wereld. Ze zijn enthousiast, onder de indruk en geïnspireerd.


Avontuur

Pythagoras en zijn volgelingen hadden een geheime club en de stervijfhoek was hun teken. De Pythagoreeërs wisten hoe de wereld in elkaar zat. En ze wisten wat getallen waren. Tot ineens … getallen leken te spoken.  Zelfs in hun eigen stervijfhoek! Wat was er aan de hand? Net als destijds, doen de leerlingen schokkende ontdekkingen. Wiskunde blijkt een avontuur te zijn,  diepgang te hebben. Het zet aan tot denken, verwondering en bewondering.