Getallendag
Een wiskundebelevenis voor alle leerlingen van 4 of 5 vwo
op hun eigen school
Wat is wiskunde eigenlijk? En wetenschap? Hoe is het ontstaan? Wat is er boeiend aan?
En waarom is het zo belangrijk? Geschiedenis, filosofie en de exacte vakken komen samen op Getallendag. In afwisselende werkvormen wordt geleerd, zelf onderzocht, gecreëerd, samengewerkt en geluisterd. Leerlingen krijgen een nieuwe kijk op wiskunde en haar samenhang met de wereld. Ze zijn enthousiast, onder de indruk en geïnspireerd.
Avontuur
Pythagoras en zijn volgelingen hadden een geheime club en de stervijfhoek was hun teken. De Pythagoreeërs wisten hoe de wereld in elkaar zat. En ze wisten wat getallen waren. Tot ineens … getallen leken te spoken. Zelfs in hun eigen stervijfhoek! Wat was er aan de hand? Net als destijds doen de leerlingen schokkende ontdekkingen. Wiskunde blijkt een avontuur te zijn en diepgang te hebben. Het zet aan tot denken, verwondering en bewondering.
Leerlingen over Getallendag
Wiskunde staat in een heel ander licht op zo'n dag als je niet, zoals normaal, in de klas bent, omdat je nu echt nieuwsgierig bent naar het antwoord en het daagt ook goed uit.
Ik heb geleerd dat getallen eigenlijk helemaal niet zo 'gewoon' zijn en dat je er eigenlijk ook oneindig over na kunt denken. Hoewel ik niet erg goed in wiskunde ben, begreep ik de stof van deze middag wel. Dat geeft een positief gevoel over wiskunde in het algemeen. Wat het meeste indruk heeft gemaakt is de geschiedenis achter de wiskunde zoals we die nu kennen. Ik blijf het bijzonder vinden dat mensen zo vroeg al tot ontdekkingen kwamen die erg moeilijk zijn. Het feit dat de wereld van de getallen (en dus de wereld van de wiskunde misschien ook wel) oneindig is, zet me wel aan het denken (op een leuke manier). Dat is iets wat ik zeker zal onthouden. Ook om het feit dat dit in mijn visie eigenlijk veel meer is dan wiskunde. Het is filosofisch en logisch nadenken, waar ik best wel van houd. Ik denk dat mijn kijk op wiskunde vandaag wel echt veranderd is.
Ik ga zeker de geschiedenis van de wiskunde onthouden. Dat komt omdat ik de introductie door middel van de legende erg leuk vond. Het mooiste vind ik dat er uit 'niks' toch iets uit is gekomen en dat er in zo'n pure abstractie (wiskunde) zoveel diepgang, maar ook zoveel logica, zit.
Ik ga van deze dag onthouden dat er veel meer geschiedenis achter wiskunde zit dan ik had verwacht en dat heel veel daarvan dingen met elkaar gemeen hebben. Ook heb ik geleerd dat je door simpele stellingen en definities makkelijk moeilijkere stellingen kan bewijzen. Ik merkte ook dat wanneer er moeilijkere vragen waren, samenwerking in de groep erg belangrijk was. Hierdoor konden we samen sneller tot een makkelijker antwoord komen. Leuk om een andere kant van de wiskunde te zien en wat dieper op de stof in te gaan!
Ik vond het leuk dat je alles zelf kon ontdekken en daardoor onthoud ik het ook beter. Waarschijnlijk onthoud ik de gulden snede nog lang. Ik vond het ook fijn dat er echt een verhaal omheen zat.
Ik vond ten eerste het intro-verhaal van mevrouw Lubberdink superleuk en interessant (dit kwam ook doordat zij dit met overtuiging en veel enthousiasme vertelde). Dit is omdat ik het erg mooi vind dat men zo lang geleden al wiskunde begreep en uitvond en dat wij dat nog steeds leren. Daarnaast vond ik de gulden snede erg interessant omdat je die ook in veel kunstwerken tegenkomt, maar ook in de natuur. Dit laat zien dat wiskunde overal te vinden is en dat vind ik niet alleen supergaaf maar ook erg interessant.
[...] Ook heb ik over het pentagram geleerd die oneindig te maken is in de vorige. Ik heb geleerd dat een dag ook leuk is zonder je telefoon en weet ik ook meer van wiskunde dat je normaal niet zou aangeleerd krijgen in de normale lessen. Ik vind het best wel indrukwekkend het verhaal van de hotelkamers en dat oneindig weer in oneindig past. Zelf zou ik nooit op het getal komen dat niet in de de oneindige rij past (dus steeds één getal veranderen in de rij). Het verbaasde me dat dat kon. Normaal ben ik niet zo van geschiedenis maar van de bètavakken maar ik vond het nu wel leuk dat er toch wat geschiedenis voorafgaand is geweest aan de wiskunde van het heden. Ik ben erg onder de indruk van de mensen in het verleden die al die ontdekkingen hebben gedaan zonder alle hulpmiddelen van de moderne tijd. Dat waren dus echt slimme mensen van aard.
Het interessantste en hetgeen ik ook zeker zal onthouden is de uitleg over het hotel en dat er dus meerdere soorten van oneindig zijn. Ik vind het erg interessant omdat het zo'n groot begrip is dat je het je bijna niet kunt voorstellen. Sommige feiten zijn dan ook zo bijzonder dat je gaat twijfelen of het echt klopt en kan omdat het aan de ene kant logisch is maar het elkaar in je hoofd ook tegenspreekt.
Ik vond het leuk dat we in groepjes konden werken, want dan kon ik dingen vragen aan de anderen als ik het niet begreep. De plenaire momenten waren interessant want dat had ik nog nooit meegemaakt en het was leuk dat je dan in een soort verhaalvorm tot ontdekkingen komt.
Ik vond het erg leuk om dieper over wiskunde na te denken en leuk om samen met mijn groepje over opdrachten na te denken waardoor we toch op een antwoord kwamen.
Ik vond het heel interessant om na te denken over alle oneindige en aftelbare getallen. Het was een leuke dag, erg gezellig en wel hard gewerkt. Ik vond het stukje geschiedenis (Pythagoras) verbazingwekkend leuk, wat ik niet van mezelf had verwacht.
Ik denk zeker dat ik hier wat aan kan hebben bij komende wiskundetoetsen. Ook vond ik de geschiedenisverhalen heel interessant en bijzonder hoe al die geleerden tot zulke 'schokkende' conclusies zijn gekomen. Ik vond het heel indrukwekkend dat zij zo vroeg al zulke spectaculaire ontdekkingen konden doen. Verder vond ik het een leuke dag omdat het voor een fijne afwisseling zorgt met de rest van de schoolweken.
Ik heb tijdens Getallendag niet alleen betere wis- en rekenkundige inzichten gekregen, maar ik heb ook tijdens de samenwerking mijn partners veel beter leren kennen en onze samenwerking heeft mij ook zeer positief verrast. De terugrekening van een [decimaal getal naar een] breuk is ook een wonderbaarlijk iets waarvan ik altijd al wilde weten hoe je het terug kon berekenen.
Ik vond het leuk om een keer de geschiedenis achter bepaalde stellingen te leren, zodat je wiskunde vanuit veel meer verschillende kanten kan bekijken.
Ik zal het verhaal van de Pythagoreeërs zeker onthouden omdat het een inspirerend en mooi verhaal is en het ons toch laat weten over de mensen die de wiskunde zoals we die vandaag kennen hebben gevormd.
De sterposter maken vond ik het leukst omdat je daar alles wat je had bewezen en had uitgerekend bij elkaar kon voegen in één tekening.
Wat ik van vandaag ga onthouden is de manier waarop je stellingen kunt bewijzen. Dit kan ik bijvoorbeeld gebruiken in een vervolgstudie.
Als we vanaf nu iets doen aan Pythagoras of Thales zal ik altijd denken aan wat vandaag is verteld, want zo begon het en dat vond ik heel interessant. [...] We waren de hele dag bezig met wiskunde, maar op een leuke manier. Ik had het me heel anders voorgesteld, maar het werd niet saai.
Mijn interesse in wiskunde is zeker gegroeid.
Het meest interessante, onverwachte, indrukwekkende vind ik die lijst met alle getallen waar toch nooit alle getallen op staan omdat dat eigenlijk niet meer te bevatten is, omdat je er logischerwijs toch van uit gaat dat je alle getallen op een rij kunt zetten. Maar als je dan te zien krijgt dat dat niet zo is, is dat nogal eh .... hoe zeg ik dit .... gek.
Ik had verwachtte niet veel te leren want ik dacht dat ik getallen wel snapte. Maar toch heb ik kunnen leren vandaag, namelijk hoe een tegenspraak werkt en hoe je hoeken en lengtes kan bewijzen in de driehoeken.
Ik vind het heel knap dat men heel lang geleden is begonnen met het redeneren m.b.v.getallen en dat hier zoveel ontdekkingen uit gekomen zijn. En wij gebruiken nu nog steeds getallen en kunnen niet zonder dit! Dit is allemaal te danken aan de geleerden en wiskundigen van vroeger, wat veel indruk op mij maakte.
Ik vond de manier van werken leuk: korte uitleg waarin veel leuke info wordt verteld zoals het verhaal over Pythagoras, waar je ook nog wat van opsteekt en dan zelf uitvoeren in de praktijk.
zie hier voor nog meer reacties van leerlingen.
Opzet en inhoud van Getallendag
Getallendag is ontwikkeld door Andrea Lubberdink, docent wiskunde met een achtergrond in de geschiedenis en filosofie van de natuurwetenschappen. Het hoofdthema van de dag is de (schokkende) ontdekking van irrationale getallen. Deze is uitgewerkt langs de lijn van de geschiedenis, aan de hand van het pentagram. Leerlingen maken kennis met de rijke en indrukwekkende achtergronden van natuurwetenschap en wiskunde en ontdekken hoe het komt dat het pentagram als magisch teken gezien wordt.
Opzet
De dag bestaat uit 3 blokken van elk ongeveer 80 minuten met daartussen twee pauzes. Elk blok begint plenair in een theaterzaal of aula, waarna de leerlingen in groepjes van vier (of drie) zelfstandig werken in een eigen werkboekje. De structuur van de dag is voor alle leerlingen hetzelfde, maar de werkboekjes zijn voor wisAC en wisB verschillend en binnen de boekjes is er keuze om de sterretjesopgaven wel of niet te maken. Elk groepje levert aan het einde van de dag één boekje in en maakt een poster.
Wel of niet voor een cijfer
Het groepsboekje kan samen met de poster worden beoordeeld voor een cijfer, dat bijvoorbeeld telt als SO of PO (Het past in het PTA in Domein F, keuzeonderwerpen). Het ingeleverde materiaal wordt vooral beoordeeld op inzet en positieve werkhouding. Leerlingen hoeven zich geen zorgen te maken over alles goed of af hebben. Het gaat om het opdoen van nieuwe ervaringen en inzichten en dat kan voor iedereen en voor elk groepje anders zijn en meer of minder betrekking hebben op de verschillende wiskundige inhoud. De leerlingen mogen kijken wat hun aanspreekt, wat zij interessant vinden en waar ze langer of minder lang bij willen blijven stil staan. Ze worden wel aangespoord om te proberen de lijn van de dag te volgen en bij te dragen aan hun groepje.
Het is niet nodig om een cijfer aan de dag te koppelen. Leerlingen gaan dan meer vrijblijvend aan de slag met de boekjes en dat kan de sfeer ten goede komen.
Wedstrijdelement
Er zijn prijzen te winnen voor de beste boekjes en de mooiste posters. De hoofdprijs is een bioscoopbon van 60 euro voor een groepje, om samen erop uit te gaan. (Er zijn meestal vier van deze hoofdprijzen).
Wat beleef je en leer je bij getallendag?
Je kunt getallendag vergelijken met een bezoek aan een museum. Je maakt kennis met belangrijke ontdekkingen en prestaties uit de geschiedenis en je ziet daardoor verbanden met de wereld van nu. Het geeft bewondering voor wat mensen vroeger gedaan en ontdekt hebben en hoe bijzonder de wereld is. Het kan zijn dat je, net als in een museum, niet alles begrijpt of meekrijgt, maar je krijgt in ieder geval een indruk en iedereen ontdekt of ziet andere dingen.
Inhoud
Tijdens het eerste plenaire gedeelte, vertelt Andrea een verhaal. Aan de hand van Pythagoras, worden de leerlingen meegenomen terug in de tijd, naar het begin van de (formele) wiskunde, naar de tijd van de Oude Grieken, naar de vraag hoe de wereld in elkaar zit en hoe dit leidt tot het begin van het wetenschappelijk denken. De axiomatische opbouw van een wetenschappelijke theorie komt naar voren en het samenspel tussen de wiskunde en natuurwetenschappen.
Bij het zelfwerken doen de leerlingen ontdekkingen in het pentagram. (De liefhebbers kunnen ook kennismaken met een klein stukje uit de Elementen van Euclides en met het bewijs uit het ongerijmde). (zie dit webinar voor een indruk van de ontdekkingen).
Tijdens het tweede plenaire gedeelte worden de ontdekkingen besproken en leren we een manier voor het berekenen van de ggd (het algoritme van Euclides). We ontdekken (net als de oude Grieken destijds) dat twee lengtes van lijnstukken in het pentagram geen ggd hebben (en dus niet allebei een geheel getal kunnen zijn en de verhouding dus niet een breuk) en dat deze twee lengtes zich verhouden volgens de gulden snede.
Bij het zelf werken kunnen de leerlingen (naar keuze) beginnen met de poster of verder werken aan het werkboekje.
In het derde plenaire gedeelte leren de leerlingen over het verschil tussen rationale en irrationale getallen en aan de hand van Hilberts Hotel wordt het begrip aftelbaar oneindig geïllustreerd. Ten slotte wordt bewezen (met Cantor) dat er meer dan aftelbaar oneindig veel irrationale getallen zijn, natuurlijk weer met een bewijs uit het ongerijmde. Iedere leerling ervaart de dag anders, maar veel leerlingen ervaren dit laatste als het duizelingwekkende hoogtepunt van de dag. Na het laatste plenaire gedeelte werken leerlingen met hun groepje rationale decimale getallen om tot breuken (en bewijzen o.a. dat 0,999... =1) en verwerken facultatief in de laatste twee opdrachten het begrip aftelbaar oneindig en het bewijs van Cantor. Aan het einde zorgen ze voor groepsboekjes en creatieve posters.
Samenwerking met de school
In samenwerking met de organisator van de school, komt Andrea Getallendag geven aan (alle) leerlingen van 5 vwo of eind 4 vwo op een geschikt gekozen dag, bijvoorbeeld in een project- of activiteitenweek of in een week met uitgedunde klassen vanwege een buitenlandreis. Ook na een toetsweek of vlak voor een vakantie, als leerlingen moeilijker te motiveren zijn voor een gewone schooldag, kan het goed uitkomen. Het mooiste is natuurlijk een gewone schooldag. Voor de plenaire gedeeltes is een Aula of theaterzaal nodig met projectiemogelijkheid en voor het zelfwerken voldoende lokalen. Het is het prettigst als alles dicht bij elkaar is en het dus in een bepaald gedeelte van het schoolgebouw die dag Getallendag is.
Als het om veel leerlingen gaat, kunnen andere docenten van de school helpen surveilleren op de uren dat ze normaalgesproken een vijfdeklas zouden hebben. Zij letten op de werkhouding van de leerlingen en het bijeenblijven van de groepjes.
Aanbevelingen, verantwoording, referenties.
Onderaan deze pagina staat feedback van leerlingen. Achtergrond, verantwoording en referenties met betrekking tot de bedoeling en de inhoud van Getallendag is hier te vinden.
In EUCLIDES , het vakblad voor de wiskundeleraar jaargang 94 nr 4 (febr 2019) staat in de inleiding van het artikel van Martin Kindt (leraar, docent lerarenopleiding, leerplanontwikkelaar en onderzoeker, Freudenthaal instituut, Universiteit Utrecht): "Het wonder dat er paren lijnstukken bestaan , waarvan de lengten zich niet verhouden als twee natuurlijke getallen, staan we daar op school nog wel eens bij stil? In de tijd van Pythagoras werden ze daar volgens overlevering wel stil van. Martin Kindt stelt zich voor dat de aandacht hiervoor, mits met veel gevoel voor drama gepresenteerd, door de leerling van vwo of havo als een welkome afwisseling van die eindeloze reeksen willekeurige sommetjes kan worden ervaren".
Dit is precies wat Getallendag biedt.
Andrea over Getallendag:
De wereld draagt bij aan de vooruitgang van de wiskunde en de wiskunde draagt bij aan de vooruitgang van de wereld, staat zelfs aan de basis. Wiskunde staat vast, maar is vol verrassingen en dwingt respect af. Tijdens Getallendag probeer ik leerlingen dit te laten ervaren. Zo als het waardevol is dat iedereen kennismaakt met beroemde kunstwerken, muziekstukken, boeken, bouwwerken of natuurverschijnselen, omdat ze bewondering opwekken, aan de essentie raken, diepgang doen voelen, net zo is de inhoud van Getallendag waardevol. Minstens zo. Andrea Lubberdink (augustus 2018)
Voorbereiding, organisatie en kosten
Goed overleg en goede samenwerking met de school is belangrijk.
De dag moet immers aangekondigd worden en het is belangrijk dat de verwachtingen van de docenten en de leerlingen op elkaar aansluiten. Welke ruimtes hebben we? Hoe worden de groepjes gevormd? Geven we wel of niet of een cijfer? Wat verwachten we van de leerlingen qua werkhouding?
Andrea zorgt voor een powerpoint en poster met informatie over de dag en natuurlijk ook voor al het benodigde materiaal op de dag zelf, inclusief versiering van de ruimte met gekleurde pentagrammen.
De prijs is 900 euro inclusief de prijzen, de boekjes en al het andere materiaal.
Contact
Andrea Lubberdink
Utrecht
telefoonnummer 06 28322166
email: andrealubberdink@gmial.com
